Если бы у Паркинсона был закон для автомобильных пробок, он бы звучал так: соседний ряд всегда едет быстрее. Кроме шуток, о городском трафике публикуются сотни серьезных научных статей в год. Ваше движение — утром на работу и вечером с нее — моделируется с помощью функций Лагранжа, нейронных сетей и других методов, которые стараются учесть все, вплоть до национальных особенностей вождения.
По сравнению с буйством высшей математики и численных методов рассуждения профессора Матиаса Риша* из Аугсбургского университета прикладных наук (Германия) кажутся специально созданными для школьного учебника. Их простота заставляет вспомнить анекдот про сферического коня в вакууме — но результат оказывается поразительно наглядным. Его может проверить на собственном опыте каждый, кто перестраивается в правый ряд, завидев пробку на горизонте. Медлительные фуры в пробке почему-то движутся, а крайний левый ряд почти стоит.
Пропускная способность дороги зависит от скорости машин и дистанции между ними. Самое смелое предположение Риша — саморегуляция: на забитой дороге водители интуитивно поддерживают такую скорость, чтобы пропускная способность была максимальной. Риш берется эту скорость рассчитать, записав уравнение движения. Расстояние между машинами он считает равным доле тормозного пути. В качестве малозаметной прибавки в уравнении оказывается и длина автомобиля, которая потом сыграет решающую роль.
Через несколько несложных подстановок и взятие производной Риш приходит к формуле скорости, на которой по дороге проезжает больше всего машин. При условии идеального сцепления колес с сухим асфальтом получается, что максимум пятиметровых легковушек пройдет на скорости 36 км/ч. А для фур длиной 15 м пиковая пропускная способность наступает при более высокой скорости — 60 км/ч. В реальных условиях эти скорости меньше, но суть не меняется: чем длиннее автомобили, тем быстрее они будут ехать.
Из уравнений Риша можно рассчитать предел пропускной способности одной полосы. Для пятиметровых легковушек получается 1700 машин в час. А это прекрасно согласуется не только со сложными моделями фазовых переходов в автомобильных пробках, но и с показаниями радиодетекторов в Лефортовском тоннеле. |